《概率论与数理统计》重难点 prob code[class*=language-],pre[class*=language-]{color:#333;background:0 0;font-family:Consolas,"Liberation 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.md-toc-link{font-weight:800}.scrollbar-style::-webkit-scrollbar{width:8px}.scrollbar-style::-webkit-scrollbar-track{border-radius:10px;background-color:transparent}.scrollbar-style::-webkit-scrollbar-thumb{border-radius:5px;background-color:rgba(150,150,150,.66);border:4px solid rgba(150,150,150,.66);background-clip:content-box}html body[for=html-export]:not([data-presentation-mode]){position:relative;width:100%;height:100%;top:0;left:0;margin:0;padding:0;overflow:auto}html body[for=html-export]:not([data-presentation-mode]) .markdown-preview{position:relative;top:0;min-height:100vh}@media screen and (min-width:914px){html body[for=html-export]:not([data-presentation-mode]) .markdown-preview{padding:2em calc(50% - 457px + 2em)}}@media screen and (max-width:914px){html body[for=html-export]:not([data-presentation-mode]) .markdown-preview{padding:2em}}@media screen and (max-width:450px){html body[for=html-export]:not([data-presentation-mode]) 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below for more information: */ /* https://shd101wyy.github.io/markdown-preview-enhanced/#/customize-css */ document.addEventListener("DOMContentLoaded", function () { // your code here }); 概率论期末重点 1. 加法公式 对于两个事件 AAA 和 BBB，加法公式是指计算它们并集的概率： P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) 这是因为如果直接将 P(A)P(A)P(A) 和 P(B)P(B)P(B) 加在一起，重复计算了 A∩BA \cap BA∩B 的部分，所以需要减去一次。 2. 乘法公式 乘法公式用于计算两个事件交集的概率。对于两个事件 AAA 和 BBB，如果 AAA 和 BBB 是独立事件，则有： P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)P(A∩B)=P(A)⋅P(B) 如果 AAA 和 BBB 不是独立事件，则有： P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)=P(B)⋅P(A∣B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)=P(B)⋅P(A∣B) 其中，P(B∣A)P(B|A)P(B∣A) 表示在 AAA 已发生的条件下 BBB 发生的条件概率，P(A∣B)P(A|B)P(A∣B) 同理。 3. 事件独立性 事件 AAA 和 BBB 独立的条件是： P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)P(A∩B)=P(A)⋅P(B) 如果两个事件独立，那么发生其中一个事件的概率不会影响另一个事件的发生概率。 4. 全概率公式 全概率公式用于计算一个事件的概率，假设 B1,B2,…,BnB_1, B_2, \dots, B_nB1​,B2​,…,Bn​ 是一个完备事件组，且这组事件相互独立，那么事件 AAA 的概率可以表示为： P(A)=∑i=1nP(A∩Bi)=∑i=1nP(A∣Bi)P(Bi)P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \cap B_i) = \sum_{i=1}^{n} P(A | B_i) P(B_i)P(A)=i=1∑n​P(A∩Bi​)=i=1∑n​P(A∣Bi​)P(Bi​) 这意味着我们可以通过对不同情形的条件概率加权平均来求解 AAA 的总体概率。 5. 贝叶斯公式 贝叶斯公式是求解条件概率的重要工具。假设事件 AAA 和 BBB 已知，贝叶斯公式为： P(A∣B)=P(B∣A)P(A)P(B)P(A | B) = \frac{P(B | A) P(A)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(B∣A)P(A)​ 贝叶斯公式反映了在已知某些信息后，如何更新事件的概率。例如，如果我们知道 BBB 发生了，那么事件 AAA 的概率就变为 P(A∣B)P(A|B)P(A∣B)。 6. 二项分布 二项分布描述了在独立重复试验中，某个事件发生的次数。设 XXX 为二项随机变量，表示在 nnn 次独立试验中某事件发生的次数，且每次试验成功的概率为 ppp，则 XXX 的概率质量函数为： P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k,k=0,1,2,…,nP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, nP(X=k)=(kn​)pk(1−p)n−k,k=0,1,2,…,n 其中，(nk)\binom{n}{k}(kn​) 是组合数，表示从 nnn 次试验中选取 kkk 次成功的方式数。 应用： 期望：E(X)=npE(X) = npE(X)=np 方差：Var(X)=np(1−p)\text{Var}(X) = np(1-p)Var(X)=np(1−p) 7. 泊松分布 泊松分布常用来描述在固定时间或空间范围内某事件发生的次数，尤其是当事件发生的频率较低时。假设 XXX 是一个泊松随机变量，表示某事件在单位时间内发生的次数，且单位时间内事件的平均发生次数为 λ\lambdaλ，则 XXX 的概率质量函数为： P(X=k)=λke−λk!,k=0,1,2,…P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dotsP(X=k)=k!λke−λ​,k=0,1,2,… 应用： 期望：E(X)=λE(X) = \lambdaE(X)=λ 方差：Var(X)=λ\text{Var}(X) = \lambdaVar(X)=λ 8. 正态分布 正态分布是最常见的连续型概率分布，描述了大量独立且相同分布的随机变量的和。设 XXX 为正态随机变量，均值为 μ\muμ，标准差为 σ\sigmaσ，则 XXX 的概率密度函数为： f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2,−∞<x<∞f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < \inftyf(x)=σ2π​1​e−2σ2(x−μ)2​,−∞<x<∞ 正态分布的曲线是对称的，且大多数数据集中在均值附近。 应用： 期望：E(X)=μE(X) = \muE(X)=μ 方差：Var(X)=σ2\text{Var}(X) = \sigma^2Var(X)=σ2 正态分布广泛应用于数据分析、质量控制和自然现象建模等领域。 9. 分布函数的运用 分布函数（或累积分布函数，CDF）用于描述随机变量 XXX 取值小于或等于某个数值 xxx 的概率。对于离散随机变量 XXX，累积分布函数定义为： F(x)=P(X≤x)F(x) = P(X \leq x)F(x)=P(X≤x) 对于连续随机变量，分布函数是概率密度函数（PDF）沿 −∞-\infty−∞ 到 xxx 的积分： F(x)=∫−∞xf(t) dtF(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dtF(x)=∫−∞x​f(t)dt 分布函数用于求解概率、分析数据的分布特征、以及计算概率区间等。 10. 二维离散型随机变量的概率分布 设 XXX 和 YYY 是两个离散型随机变量，它们的联合概率分布由联合概率质量函数（PMF）表示，即： P(X=xi,Y=yj)=pij,i=1,2,…,m,j=1,2,…,nP(X = x_i, Y = y_j) = p_{ij}, \quad i = 1, 2, \dots, m, \quad j = 1, 2, \dots, nP(X=xi​,Y=yj​)=pij​,i=1,2,…,m,j=1,2,…,n 其中，pijp_{ij}pij​ 表示随机变量 X=xiX = x_iX=xi​ 和 Y=yjY = y_jY=yj​ 同时发生的概率。联合概率分布的要求是： ∑i=1m∑j=1npij=1\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} p_{ij} = 1i=1∑m​j=1∑n​pij​=1 边际概率是通过对一个变量求和得到的： 对 XXX 的边际概率： P(X=xi)=∑j=1npijP(X = x_i) = \sum_{j=1}^{n} p_{ij}P(X=xi​)=j=1∑n​pij​ 对 YYY 的边际概率： P(Y=yj)=∑i=1mpijP(Y = y_j) = \sum_{i=1}^{m} p_{ij}P(Y=yj​)=i=1∑m​pij​ 11. 二维连续型随机变量的概率密度 对于二维连续型随机变量 XXX 和 YYY，它们的联合概率密度函数为 fX,Y(x,y)f_{X,Y}(x, y)fX,Y​(x,y)，满足： ∫−∞∞∫−∞∞fX,Y(x,y) dx dy=1\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, y) \, dx \, dy = 1∫−∞∞​∫−∞∞​fX,Y​(x,y)dxdy=1 联合概率密度函数的边际分布分别为： 对 XXX 的边际密度： fX(x)=∫−∞∞fX,Y(x,y) dyf_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, y) \, dyfX​(x)=∫−∞∞​fX,Y​(x,y)dy 对 YYY 的边际密度： fY(y)=∫−∞∞fX,Y(x,y) dxf_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, y) \, dxfY​(y)=∫−∞∞​fX,Y​(x,y)dx 12. 二维随机变量函数的概率分布 设有函数 Z=g(X,Y)Z = g(X, Y)Z=g(X,Y)，其中 XXX 和 YYY 为二维随机变量，ggg 是某个可测函数。我们可以通过联合概率密度函数来推导 ZZZ 的分布。对于连续随机变量，可以使用变换方法，求得 ZZZ 的概率密度函数 fZ(z)f_Z(z)fZ​(z)。这个过程通常涉及雅可比行列式，假设变换是单调的，并且存在逆变换： fZ(z)=∫∫g(x,y)=zfX,Y(x,y) dx dyf_Z(z) = \int \int_{g(x, y) = z} f_{X,Y}(x, y) \, dx \, dyfZ​(z)=∫∫g(x,y)=z​fX,Y​(x,y)dxdy 对于离散随机变量，类似地，可以通过求和来得到新变量的分布。 13. 期望和方差的运用 期望是一个随机变量的加权平均，表示随机变量的平均值或中心趋势。对于离散型随机变量 XXX，期望为： E(X)=∑ixiP(X=xi)E(X) = \sum_i x_i P(X = x_i)E(X)=i∑​xi​P(X=xi​) 对于连续型随机变量，期望为： E(X)=∫−∞∞xfX(x) dxE(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) \, dxE(X)=∫−∞∞​xfX​(x)dx 方差衡量的是随机变量的离散程度，表示随机变量与其期望值之间的平均偏差。方差为： Var(X)=E[(X−E(X))2]=E(X2)−[E(X)]2\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2Var(X)=E[(X−E(X))2]=E(X2)−[E(X)]2 其中，E(X2)E(X^2)E(X2) 是 XXX 的二次期望： E(X2)=∑ixi2P(X=xi)或E(X2)=∫−∞∞x2fX(x) dxE(X^2) = \sum_i x_i^2 P(X = x_i) \quad \text{或} \quad E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f_X(x) \, dxE(X2)=i∑​xi2​P(X=xi​)或E(X2)=∫−∞∞​x2fX​(x)dx 协方差用于衡量两个随机变量 XXX 和 YYY 的线性关系，定义为： Cov(X,Y)=E[(X−E(X))(Y−E(Y))]=E(XY)−E(X)E(Y)\text{Cov}(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] = E(XY) - E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E[(X−E(X))(Y−E(Y))]=E(XY)−E(X)E(Y) 14. 方差的性质 非负性：Var(X)≥0\text{Var}(X) \geq 0Var(X)≥0。 加法性：对于独立随机变量 XXX 和 YYY，有： Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) 缩放性：对于常数 aaa，有： Var(aX)=a2Var(X)\text{Var}(aX) = a^2 \text{Var}(X)Var(aX)=a2Var(X) 15. 矩的概念理解 矩是对随机变量的一种描述，表示该随机变量的高阶偏离程度。常见的矩有： 原点矩：E(Xn)E(X^n)E(Xn)，表示随机变量 XXX 关于原点的高阶期望。 中心矩：E[(X−E(X))n]E[(X - E(X))^n]E[(X−E(X))n]，表示随机变量 XXX 关于其期望的高阶期望。 其中，二阶矩即方差，三阶矩和四阶矩分别与偏度（Skewness）和峰度（Kurtosis）相关。 16. 中心极限定理的概念理解及运用 中心极限定理是统计学中的一个重要定理，它描述了大样本下，样本均值的分布趋近于正态分布的性质。 具体来说，设有一组独立同分布的随机变量 X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_nX1​,X2​,…,Xn​，每个变量的期望是 E(Xi)=μE(X_i) = \muE(Xi​)=μ，方差是 Var(Xi)=σ2\text{Var}(X_i) = \sigma^2Var(Xi​)=σ2，那么当样本容量 nnn 足够大时，样本均值的分布可以近似为正态分布： Xˉ=1n∑i=1nXi\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_iXˉ=n1​i=1∑n​Xi​ 当 nnn 很大时，Xˉ\bar{X}Xˉ 的分布趋近于正态分布，且其均值为 μ\muμ，方差为 σ2n\frac{\sigma^2}{n}nσ2​，即： Xˉ∼N(μ,σ2n)\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)Xˉ∼N(μ,nσ2​) 中心极限定理非常重要，因为它保证了不论原始数据的分布如何，当样本量足够大时，样本均值的分布会趋近于正态分布。因此，在许多实际应用中，我们可以假设样本均值服从正态分布，即使原始数据本身不一定服从正态分布。 17. 切比雪夫不等式的运用 切比雪夫不等式是描述任意分布的随机变量与其期望的偏差之间关系的一个不等式。它指出，对于任何随机变量 XXX，无论其分布如何，都有： P(∣X−E(X)∣≥k⋅σ)≤1k2,对于任意的 k>0P(|X - E(X)| \geq k \cdot \sigma) \leq \frac{1}{k^2}, \quad \text{对于任意的} \ k > 0P(∣X−E(X)∣≥k⋅σ)≤k21​,对于任意的 k>0 其中，σ\sigmaσ 是 XXX 的标准差，kkk 是正数。切比雪夫不等式表明，不论随机变量的分布如何，至少 1k2\frac{1}{k^2}k21​ 的概率落在期望值 E(X)E(X)E(X) 的 kkk 倍标准差范围内。 应用： 估计分布：即使我们不知道分布的具体形式，切比雪夫不等式也能提供对概率的上界。 风险控制：在风险管理中，切比雪夫不等式可以用来估计极端事件的概率，帮助做出风险预测。 18. 矩估计法（Method of Moments） 矩估计法是一种用样本矩来估计总体分布参数的方法。基本思想是通过样本的矩（如样本均值、样本方差等）来估计总体的矩，然后利用这些矩来推导出参数的估计值。 假设有一个总体分布的概率密度函数（或概率质量函数） f(x;θ)f(x;\theta)f(x;θ)，其第 kkk 阶矩为 E[Xk]=μk(θ)E[X^k] = \mu_k(\theta)E[Xk]=μk​(θ)，其中 θ\thetaθ 为待估参数。矩估计法的步骤如下： 计算样本矩 mk=1n∑i=1nXikm_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^kmk​=n1​∑i=1n​Xik​。 将样本矩与总体矩相等：mk=μk(θ)m_k = \mu_k(\theta)mk​=μk​(θ)。 解出参数 θ\thetaθ 的估计值。 矩估计法的优点是计算简便，尤其是在没有复杂的似然函数情况下，可以较为直接地得到估计值。但它的缺点是估计结果不一定是最优的，可能缺乏一致性或有效性。 19. 极大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation, MLE） 极大似然估计法是一种基于样本数据来估计分布参数的方法。其基本思想是，选择使得观察到的数据最可能发生的参数值。对于一组样本 X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_nX1​,X2​,…,Xn​，假设它们独立同分布，且服从某一概率分布，具有参数 θ\thetaθ。根据样本数据，极大似然估计法的步骤如下： 似然函数：定义似然函数 L(θ)L(\theta)L(θ) 为样本在参数 θ\thetaθ 下的联合概率密度（或概率质量）函数： L(θ)=P(X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn;θ)L(\theta) = P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \dots, X_n = x_n; \theta)L(θ)=P(X1​=x1​,X2​=x2​,…,Xn​=xn​;θ) 对于连续型数据，似然函数为联合概率密度函数；对于离散型数据，则是联合概率质量函数。 对数似然函数：为方便计算，通常取似然函数的对数（称为对数似然函数）： ℓ(θ)=log⁡L(θ)\ell(\theta) = \log L(\theta)ℓ(θ)=logL(θ) 求解极大值：通过对数似然函数求导并使其等于零，得到最优的参数估计值 θ^MLE\hat{\theta}_{MLE}θ^MLE​： ddθℓ(θ)=0\frac{d}{d\theta} \ell(\theta) = 0dθd​ℓ(θ)=0 极大似然估计法的优点是具有很好的统计性质：一致性（随着样本量增加，估计值趋近于真实参数值）和渐近正态性（在样本量充分大的情况下，估计值服从正态分布）。但它的计算复杂度较高，尤其在多参数情况下，可能需要数值优化方法来求解。 20. 区间估计的计算 区间估计是对一个总体参数的估计方法，它提供一个区间（而非一个点估计），该区间内包含真实参数值的概率较高。最常见的区间估计是置信区间（Confidence Interval, CI）。 对于一个总体均值 μ\muμ 的区间估计，我们可以使用样本均值 Xˉ\bar{X}Xˉ 和样本标准差 SSS 来构建置信区间： Xˉ±zα/2⋅Sn\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}Xˉ±zα/2​⋅n​S​ 其中，zα/2z_{\alpha/2}zα/2​ 是标准正态分布的 α/2\alpha/2α/2 分位点，nnn 是样本容量。 对于大样本，中心极限定理保证了样本均值近似服从正态分布，因此可以使用上述公式。如果总体标准差已知，可以使用正态分布的置信区间；如果总体标准差未知，则通常使用样本标准差并使用 ttt-分布来构造置信区间。 21. 假设检验的基本思想 假设检验（Hypothesis Testing）是统计推断中的一种重要方法，主要用于根据样本数据判断某一假设是否成立。假设检验的基本过程包括以下步骤： 提出假设： 原假设（H0H_0H0​）：通常是待检验的假设，代表某个已知情况或无效情况。例如，“药物对病人没有影响”。 备择假设（H1H_1H1​ 或 HaH_aHa​）：与原假设相对立，代表一个需要通过数据支持的假设。例如，“药物对病人有影响”。 选择显著性水平（α\alphaα）： 显著性水平通常设置为 0.050.050.05 或 0.010.010.01，表示在假设检验中接受错误的概率（即犯第一类错误的概率）。如果我们选择 α=0.05\alpha = 0.05α=0.05，意味着我们允许有 5% 的概率拒绝原假设，即使它是真的。 选择检验统计量： 检验统计量是用来检验假设的工具，通常是样本数据的某种函数，例如样本均值、样本标准差等。 计算p值： p值是指在原假设为真时，观察到的样本数据与假设值之间的差异的极端程度。p值越小，表示原假设不成立的证据越强。如果 p值小于显著性水平 α\alphaα，则拒绝原假设。 作出决策： 如果 ppp-值小于或等于显著性水平 α\alphaα，我们拒绝原假设，认为备择假设成立。 如果 ppp-值大于显著性水平 α\alphaα，则不拒绝原假设，认为原假设成立。 22. 不同类型参数检验问题的统计量选择 根据检验的目的和数据类型，常见的假设检验有很多不同的类型。每种检验有其对应的统计量和适用条件。 1. 单样本 ttt-检验 单样本 ttt-检验用于检验单个样本均值是否与总体均值 μ0\mu_0μ0​ 相等。假设我们有一个样本 X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_nX1​,X2​,…,Xn​，并且想检验该样本的均值是否等于某个值 μ0\mu_0μ0​。 原假设（H0H_0H0​）： μ=μ0\mu = \mu_0μ=μ0​ 备择假设（H1H_1H1​）： μ≠μ0\mu \neq \mu_0μ=μ0​ （双尾检验）或者 μ>μ0\mu > \mu_0μ>μ0​（单尾检验）或 μ<μ0\mu < \mu_0μ<μ0​（单尾检验） 统计量为： t=Xˉ−μ0S/nt = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}t=S/n​Xˉ−μ0​​ 其中，Xˉ\bar{X}Xˉ 是样本均值，SSS 是样本标准差，nnn 是样本容量。该统计量服从自由度为 n−1n - 1n−1 的 ttt-分布。 2. 双样本 ttt-检验 双样本 ttt-检验用于比较两个独立样本的均值是否相等。假设我们有两个独立样本 X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_nX1​,X2​,…,Xn​ 和 Y1,Y2,…,YmY_1, Y_2, \dots, Y_mY1​,Y2​,…,Ym​，并且希望检验它们的均值是否相等。 原假设（H0H_0H0​）： μX=μY\mu_X = \mu_YμX​=μY​ 备择假设（H1H_1H1​）： μX≠μY\mu_X \neq \mu_YμX​=μY​（双尾检验）或者 μX>μY\mu_X > \mu_YμX​>μY​（单尾检验） 统计量为： t=Xˉ−YˉSX2n+SY2mt = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{\frac{S_X^2}{n} + \frac{S_Y^2}{m}}}t=nSX2​​+mSY2​​​Xˉ−Yˉ​ 其中，Xˉ\bar{X}Xˉ 和 Yˉ\bar{Y}Yˉ 是样本均值，SX2S_X^2SX2​ 和 SY2S_Y^2SY2​ 是样本方差，nnn 和 mmm 是样本容量。 3. 方差分析（ANOVA） 当我们需要比较三个及以上的独立样本均值时，通常使用方差分析（ANOVA）。ANOVA通过比较组内方差和组间方差来检验各组均值是否相等。 原假设（H0H_0H0​）： 各组均值相等 备择假设（H1H_1H1​）： 至少有一组均值与其他组不同 统计量为： F=组间均方组内均方F = \frac{\text{组间均方}}{\text{组内均方}}F=组内均方组间均方​ 其中，组间均方表示各组均值与总体均值之间的变异程度，组内均方表示组内个体与组均值之间的变异程度。 4. 卡方检验 卡方检验用于检验分类数据的独立性或拟合度。比如，检验两个变量是否独立，或者检验样本数据是否符合某一已知的分布。 原假设（H0H_0H0​）： 变量之间独立，或者样本数据符合某一分布。 备择假设（H1H_1H1​）： 变量之间不独立，或者样本数据不符合某一分布。 卡方统计量为： χ2=∑(Oi−Ei)2Ei\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}χ2=∑Ei​(Oi​−Ei​)2​ 其中，OiO_iOi​ 是观察到的频数，EiE_iEi​ 是期望的频数。 5. z检验 z检验通常用于大样本情况下的参数检验。与 ttt-检验类似，z检验用于检验单个样本均值是否与总体均值相等，或者检验两个独立样本的均值是否相等。 单样本 z 检验： z=Xˉ−μ0σ/nz = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}z=σ/n​Xˉ−μ0​​ 其中，σ\sigmaσ 是总体标准差。 双样本 z 检验： z=Xˉ−YˉσX2n+σY2mz = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n} + \frac{\sigma_Y^2}{m}}}z=nσX2​​+mσY2​​​Xˉ−Yˉ​ 通常，z检验用于总体标准差已知或样本容量较大的情况（如 n>30n > 30n>30）。

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Java期末复习 基本数据类型及一些注意事项逻辑类型：boolean整数类型：byte, short, int, long字符类型：char浮点类型：float, double需要加后缀的有long和float注意事项对于局部变量，不存在默认值只有实例方法才能调用实例变量PATH和CLASSPATH的配置PATH的配置: 找到JDK的安装路径（例如：D:\jdk），设置环境变量，在PATH中添加D:\jdk\binCLASSPATH的配置: 设置CLASSPATH环境变量，.; D:\jdk\libJava特点中面向对象是什么Java是面向对象编程语言，面向对象编程（OOP）是一种编程范式，使用“对象”作为基本单元。对象包含数据（属性）和行为（方法）。面向对象编程的三个主要特点：封装：将对象的属性和方法封装在一起，隐藏对象的内部实现细节，只暴露必要的接口。这样可以保护数据，防止外部干扰。继承：一种机制，可以创建一个新类，这个新类基于已有的类并继承其属性和方法。新类可以重用父类的代码，还可以添加新的功能。多态：允许对象以多种形式出现。具体来说，一个父类的引用可以指向子类的实例，并且可以调用子类的方法，实现运行时多态。各个修饰符修饰的类在各个场景下的访问权限修饰符同一个类同一个包子类（同包）子类（不同包）其他包public√√√√√protected√√√√×默认 (无修饰符)√√√××private√××××说明：public：公共访问，任何地方都可以访问。protected：受保护访问，同包可以访问，不同包的子类可以访问。默认（无修饰符）：包级私有，同包可以访问，不同包不能访问。private：私有访问，只有同一个类中可以访问。类：顶层类（Outer Class）只能用public或默认修饰，不能用protected或private。内部类（Inner Class）可以用public、protected、默认或private修饰。成员变量：成员变量可以用public、protected、默认或private修饰，遵循上表的访问权限。GUI中listener的用处在Java的GUI编程中，listener是用于响应用户交互事件的接口。例如，点击按钮、移动鼠标等。listener可以让程序对用户操作做出响应。常见的listener接口：ActionListener: 用于处理动作事件（如按钮点击）。MouseListener: 用于处理鼠标事件。KeyListener: 用于处理键盘事件。实际代码示例写一个class，写构造方法，并继承：class Animal { String name; // 构造方法 public Animal(String name) { this.name = name; } public void makeSound() { System.out.println("Some sound..."); } } class Dog extends Animal { // 子类的构造方法 public Dog(String name) { super(name); } @Override public void makeSound() { System.out.println("Bark"); } public static void main(String[] args) { Dog dog = new Dog("Buddy"); dog.makeSound(); // 输出 "Bark" } }写一个接口，并写一个类实现该接口：// 定义接口 public interface Vehicle { void start(); void stop(); int getSpeed(); } // 实现接口的类 public class Car implements Vehicle { private int speed; @Override public void start() { System.out.println("Car is starting"); speed = 10; } @Override public void stop() { System.out.println("Car is stopping"); speed = 0; } @Override public int getSpeed() { return speed; } public static void main(String[] args) { Car car = new Car(); car.start(); System.out.println("Speed: " + car.getSpeed()); car.stop(); System.out.println("Speed: " + car.getSpeed()); } }写一个抽象类以及实现：abstract class Shape { // 抽象方法 abstract void draw(); // 非抽象方法 void description() { System.out.println("This is a shape"); } } class Circle extends Shape { @Override void draw() { System.out.println("Drawing a circle"); } public static void main(String[] args) { Circle circle = new Circle(); circle.draw(); // 输出 "Drawing a circle" circle.description(); // 输出 "This is a shape" } }super关键字：在Java中，super 关键字是一个特殊的引用，它指向当前对象的父类。class Parent { void show() { System.out.println("Parent's show()"); } int value = 10; } class Child extends Parent { void show() { super.show(); // 调用父类的show()方法 System.out.println("Child's show()"); } int value = 20; void printValues() { System.out.println(super.value); // 访问父类的value字段 System.out.println(value); // 访问子类的value字段 } Child() { super(); // 调用父类的构造方法 } } public class Test { public static void main(String[] args) { Child c = new Child(); c.show(); c.printValues(); } }在这个例子中，Child 类继承自 Parent 类。在 Child 类的 show() 方法中，我们使用 super.show() 来调用 Parent 类的 show() 方法。在 printValues() 方法中，我们使用 super.value 来访问父类的字段，而直接使用 value 来访问子类的字段。在 Child 类的构造方法中，我们使用 super() 来调用父类的构造方法。可变参数：可变参数可以与普通参数一起使用，但可变参数必须放在参数列表的最后public void printAll(Object first, int... numbers) { System.out.println(first); for (int num : numbers) { System.out.println(num); } }补充：2022级课堂作业本部分材料来自lyzJDK编译器：javac.exe正确main方法：public static void main（String args[])jdk的安装目录为D:\jdk，则path的值设置为D:\jdk\bin，classpath的值设置为.; D:\jdk\lib源文件扩展名为.java，字节码的扩展名是.classJava源文件是由若干个类组成的，这些类可以在一个源文件中，也可以分布在若干个源文件中，其中必须有一个源文件含有主类类体内容中声明成员变量是为了体现对象的属性还是行为？—-属性类体内容中定义的非构造方法是为了体现对象的属性还是行为？—-行为构造方法没有返回值构造方法可以重载类中的实例方法可以操作类变量（static变量）类方法（static方法）不需要操作实例变量类中的实例方法可以用类名不直接调用局部变量没有默认值接口中不可以声明变量接口中可以定义非抽象方法接口中的常量可以不指定初值可以在接口中只声明常量，不声明抽象方法允许接口中只有一个抽象方法线程在新建状态和死亡状态时，调用isAlive()方法返回值是falseFileInputStream按字节读取文件监视KeyEvent事件的监视器必须实现KeyListener接口"Hello".equals(“hello”)的值是false监视WindowEvent事件的监视器必须实现WindowsListener接口

数据结构期末复习 大一下复习数据结构期末复习二叉树的遍历牢记递归思想。// 中序遍历 void mFind(Node* root) { if (root == nullptr) { return; } // 先递归遍历左子树 mFind(root->lc); // 访问当前结点 cout << root->data << " "; // 再递归遍历右子树 mFind(root->rc); }树和森林的转换参考视频树转森林：删除树的根节点，根节点的子树即为森林。森林转树：将森林的第一棵树作为树的根节点，其他树作为根节点的子树依次连接起来。哈夫曼树（Huffman Tree）带权路径长度：带权路径长度 = SUM（长度*权值）选择权值最小的两个节点作为左右子树。合并这两个节点并更新权值，重复以上步骤，直到只剩一个根节点。图入度和出度：在有向图中，如果一个人可以向多个人说话（即有多个人可以听他说话），那么他的“出度”就是他说话对象的数量。相对的，“入度”就是有多少人可以向他说话。深度优先搜索：D(Depth)FS（类似树的先序遍历）// DFS 深度优先搜索 // 从节点u开始进行深度优先搜索 void DFS(int u) { // 输出当前访问的节点u cout << u << " "; // 标记节点u为已访问 vis[u] = 1; // 遍历节点u的邻接表 递归访问所有未被访问的相邻节点 for (int i = head[u]; i != -1; i = edg[i].next) { int v = edg[i].to; if (!vis[v]) { DFS(v); } } }广度优先搜索：B(Breadth)FS（类似树的层序遍历）拓扑排序：每次选入度为0的点，然后删除这个点和它的出边最小生成树（Minimum Spanning Tree）参考视频Prim算法：从任一节点开始，每次选择权值最小的边连接一个新节点，直到所有节点都连接。Kruskal算法：将所有边按权值从小到大排序，依次选择不形成环的最小权值边，直到所有节点都连接。最短路径（Shortest Path）Dijkstra算法：用于单源最短路径，适合边权为非负的图，从起点开始逐步扩展最短路径，直到所有节点都找到最短路径。Floyd-Warshall算法：用于任意两点间最短路径，逐步优化所有点对的路径。二叉排序树（Binary Search Tree, BST）BST是一种特殊的二叉树，左子树所有节点的值都小于根节点的值，右子树所有节点的值都大于根节点的值。平衡二叉树、二叉排序树：任意节点左右子树的深度差≤1二叉排序树的调整：参考视频（调整LL,LR,RL,RR）B树和B+树B树：一种自平衡的多路查找树，节点可以有多个子节点，用于数据库和文件系统。B+树：B树的变种，所有叶子节点构成一个有序链表，更适合范围查询。散列表（Hash Table）散列表是一种数据结构，通过哈希函数将键映射到表中的位置进行存储，实现快速查找、插入和删除。排序算法插入排序（Insertion Sort）：通过构建有序序列，对未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。下面这些都不稳定希尔排序（Shell Sort）：插入排序的一种改进，分组进行插入排序，逐步减少分组数量，最终整体插入排序。快速排序（Quick Sort）：通过分区将数组分成两部分，递归对两部分排序。// 交换两个元素的值(略) void swap(int &a, int &b); // 分区函数 int partition(vector<int> &arr, int low, int high) { int pivot = arr[high]; // 选择最后一个元素作为枢轴 int i = low - 1; // 指向较小元素的索引 for (int j = low; j < high; ++j) { if (arr[j] < pivot) { // 如果当前元素小于枢轴 ++i; swap(arr[i], arr[j]); // 交换arr[i]和arr[j] } } swap(arr[i + 1], arr[high]); // 将枢轴放在正确的位置 return i + 1; // 返回枢轴的索引 } // 快速排序函数 void quickSort(vector<int> &arr, int low, int high) { if (low < high) { int pi = partition(arr, low, high); // 获取分区索引 quickSort(arr, low, pi - 1); // 递归排序左子数组 quickSort(arr, pi + 1, high); // 递归排序右子数组 } }堆排序（Heap Sort）：利用堆这种数据结构，将数组看成完全二叉树，构建最大堆，然后依次取出堆顶元素进行排序。